Το στοιχείο που ζητήσατε δεν μπορεί να προβληθεί

Δραστηριότητα

Ανάλυση του σεναρίου

Αρχικά καλό είναι να δώσουμε μία μικρή δραστηριότητα στους μαθητές για να δούμε αν έχουν τις προαπαιτούμενες γνώσεις για να ανταπεξέλθουν στις ανάγκες των δραστηριοτήτων.

Α Φάση

Παρουσίαση του λογισμικού: Κατασκευή τριγώνων,υπολογισμός μηκών και γωνιών.

Χρήση του εργαλείου πινακοποίηση.

Β Φάση

Ζητάμε από τους μαθητές να κατασκευάσουν ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να υπολογίσουν τα μήκη των πλευρών του,το άθροισμα των τετραγώνων ανά δύο των πλευρών του καθώς και τις γωνίες του τριγώνου.Υστερα ζητάμε να ποινακοποίσουν τα αποτελέσματα όπου στις τρείς πρώτες στήλες θα βάλουν τις γωνίες του τριγώνου.Στις επόμενες τρείς στήλες να βάλουν τα τετράγωνα των πλευρών και στις επόμενες τρεις το άθροισμα των τετραγώνων ανά δύο των πλευρών. Ζητάμε να μετακινήσουν με το εργαλείο “drag mode” την κορυφή Α ώστε να προκύψει οξυγώνιο, ορθογώνιο, αμλυγώνιο τρίγωνο έτσι ώστε να συμπληρώνεται ο πίνακας. Παρατηρώντας τον πίνακα τους ζητάμε: Να διατυπώσουν σχετική πρόταση για το τετράγωνο της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία Οι μαθητές αναμένεται να παρατηρήσουν ότι: αν η γωνία είναι οξεία το τετράγωνο της απέναντι πλευράς είναι μικρότερο από το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων 2 πλευρών, αν η γωνία είναι ορθή το τετράγωνο της απέναντι πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων 2 πλευρών, αν η γωνία είναι αμβλεία, το τετράγωνο της απέναντι πλευράς είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων 2 πλευρών

Γ Φάση

Και αντίστροφα έχοντας τη σχέση του τετραγώνου της μεγαλύτερης πλευράς με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών το είδος της γωνίας που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά οι μαθητές καλούνται να διερευνήσουν το είδος της γωνίας αξιοποιώντας και τις μετρησεις του λογισμικού

Δ Φάση

Καθοδηγούμε του μαθητές να βρουν την προβολή ΑΔ της ΑΒ πάνω στη ΑΓ.Ζητάμε να υπολογίσουν το 2ΑΔ.ΑΓ.Επιπλέον ζητάμε αν η γωνία Α είναι οξεία να βρουν το ΑΒ^2+ΑΓ^2-2ΑΔ.ΑΓ,ενώ αν είναι αμβλεία να βρουν το ΑΒ^2+ΑΓ^2+2ΑΔ.ΑΓ ώστε να οδηγηθούν στο θεώρημα οξείας ή αμβλείας γωνίας αξιοποιώντας τον ‘υπολογισμό’ και την ‘πινακοποίηση’.

1.Επέκταση της δραστηριότητας: Νόμος συνημιτόνων,θεωρήματα διαμέσων.

1^ο Φύλλο εργασίας

1 Κατασκευάστε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και με το εργαλείο «υπολογιστής»

Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ,τα τετράγωνα των πλευρών καθώς και τις γωνίες του.

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις ΑΒ^2+ΑΓ^2 , ΑΒ^2+ΒΓ^2 , ΑΓ^2+ΒΓ^2
Ποινακοποιήστε τα παραπάνω αποτελέσματα όπου στις τρείς πρώτες στήλες να βάλετε τις γωνίες του τριγώνου.Στις επόμενες τρείς στήλες να βάλετε τα τετράγωνα των πλευρών και στις επόμενες τρεις το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών.

4. Με τη χρήση του εργαλείου “drag mode” μετακινήστε την κορυφή Α ώστε να προκύψει

οξυγώνιο,ορθογώνιο,αμλυγώνιο ποινακοποιόντας τις μετρήσεις

· Ποιά σχέση έχει το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς με το άθροισμα των τετρα-

γώνων των άλλων δύο πλευρών αν η μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται απέναντι από οξε-

ία γωνία

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ποιά σχέση έχει το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς με το άθροισμα των τετ-

ραγώνων των άλλων δύο πλευρών αν η μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται απέναντι από

ορθή γωνία

…………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

Ποιά σχέση έχει το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς με το άθροισμα των τετ-

ραγώνων των άλλων δύο πλευρών αν η μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται απέναντι από

αμλεία γωνία

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

· Από τη σχέση που έχετε για το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς σε σχέση με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών τι παρατηρείται για τη γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

……………………………………………………………………………………………………

2^ο Φύλλο εργασίας

α. Με την εντολή «τρίγωνο» να φτιάξετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ.Με την επιλογή «κάθετη ευθεία»

να φτιάξετε το ύψος ΑΔ του τριγώνου.

β. Από την επιλογή «απόσταση και μήκος» υπολογίστε τα μήκη των πλευρών του τρίγώνου

και του ΑΔ.

γ. Να πινακοποιήσετε βάζοντας στη 1^η στήλη τη γωνία Α στη 2^η στήλη το ΒΓ^2 και στην

τρίτη στήλη το ΑΒ^2+ΑΓ^2-2ΑΔΑΓ και στην 4^η στήλη το ΑΒ^2+ΑΓ^2+2ΑΔΑΓ.

δ. Μετακινήστε την κορυφή Α ώστε να διμηουργιθεί σταδιακά ένα οξυγώνιο τρίγωνο,ένα

αμβλυγώνιο και ένα ορθογώνιο τρίγωνο πινακοποιόντας την κάθε φορά την επιλογή σας.

Τι παρατηρείτε στις ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:

Αν η γωνία Α είναι οξεία ………………………..
Αν η γωνία Α είναι αμβλύα ……………………………
Αν η γωνία Α είναι ορθή………………………………….

Ποια εικασία προκύπτει από την καθεμία παραπάνω παρατήρηση

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3^ο Φύλλο εργασίας

Αν η γωνία Α του τριγώνου ΑΒΓ είναι οξεία να αποδείξετε την εικασία του 2^ου φύλλου εργασίας (το λογισμικό χρησιμοποιείται ως εποπτικό εργαλείο)
Διατυπώστε σε μαθηματική γλώσσα την πρόταση που αποδείξατε.

Το ------------------------------- της πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από ------------------------------- ισούται με το ------------------------------------------------------------------------------------------------ ελαττωμένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή -------------------------------------------------------------------------------------

Γενίκευση Πυθαγορείου θεωρήματος

Δραστηριότητα